IMO 2026: ამოცანების დეტალური სტატისტიკური მიმოხილვა
საქართველოს ეროვნულმა ნაკრებმა ჯამში 110 ქულა დააგროვა. ჩვენმა გუნდმა მოიპოვა 1 ოქროს, 1 ვერცხლისა და 1 ბრინჯაოს მედალი, ასევე 2 საპატიო სიგელი.
ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე დეტალურად შეგიძლიათ იხილოთ საქართველოს ნაკრების შედეგები თითოეული ამოცანის ($P_1$-დან $P_6$-ის ჩათვლით) მიხედვით.
IMO 2026: ამოცანა P1
ქულების განაწილების ოფიციალური სტატისტიკა (666 მონაწილე)
IMO 2026: ამოცანა P2
ქულების განაწილების ოფიციალური სტატისტიკა (666 მონაწილე)
IMO 2026: ამოცანა P3
ქულების განაწილების ოფიციალური სტატისტიკა (666 მონაწილე)
IMO 2026: ამოცანა P4
ქულების განაწილების ოფიციალური სტატისტიკა (666 მონაწილე)
IMO 2026: ამოცანა P5
ქულების განაწილების ოფიციალური სტატისტიკა (666 მონაწილე)
IMO 2026: ამოცანა P6
ქულების განაწილების ოფიციალური სტატისტიკა (666 მონაწილე)
IMO 2026: გლობალური შედეგები
ჯამური ქულების განაწილება (სრული 666 მონაწილე)
დღე 1
დაფაზე დაწერილია 2026 მთელი რიცხვი, რომლებიც 1-ზე მეტია, და აუცილებელი არაა ისინი იყოს განსხვავებული. ყოველ სვლაზე, კონფუცი ირჩევს ორ რიცხვს $m > 1$ და $n > 1$ დაფის სხვადასხვა ადგილიდან და ამ ორ რიცხვს ანაცვლებს შემდეგი მნიშვნელობებით:
$$ \text{უ.ს.გ}(m,n) \quad \text{და} \quad \frac{\text{უ.ს.ჯ}(m,n)}{\text{უ.ს.გ}(m,n)}. $$ის აგრძელებს სვლების გაკეთებას მანამ, სანამ ეს შესაძლებელია.
(a) დაამტკიცეთ, რომ კონფუცის არჩევანის მიუხედავად, სასრული რაოდენობის სვლების შემდეგ დაფაზე დარჩება ზუსტად ერთი $M$ რიცხვი, რომელიც 1-ზე მეტია.
(b) დაამტკიცეთ, რომ $M$-ის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული კონფუცის არჩევანზე.
(შენიშვნა: $\text{უ.ს.გ}(x, y)$ აღნიშნავს დადებითი მთელი $x$ და $y$ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფს, ხოლო $\text{უ.ს.ჯ}(x, y)$ — მათ უმცირეს საერთო ჯერადს.)
დაწერეთ ამ სივრცეში 👇
ამოხსნის ნახვა
- რას ამოწმებს ეს ამოცანა?
ოლიმპიური ამოცანების კომიტეტი ამ ამოცანით ამოწმებს სამ უნარს.
ინვარიანტებისა და მონოვარიანტებს: როდესაც გვაქვს სისტემა, რომელიც იცვლება გარკვეული წესებით (კონფუცის სვლები), აუცილებელია ისეთი სიდიდის პოვნა, რომელიც არ იცვლება (ინვარიანტი პასუხობს (b) ნაწილს) და ისეთის, რომელიც მკაცრად მცირდება ან იზრდება (მონოვარიანტი პასუხობს (a) ნაწილს, რათა დავამტკიცოთ, რომ პროცესი სრულდება).
არითმეტიკის ძირითადი თეორემა: უნარი, ამოცანა ნატურალური რიცხვებიდან გადავიტანოთ ცალკეულ მარტივ მამრავლებზე. ამოწმებენ, ხვდება თუ არა მოსწავლე, რომ რიცხვების ნაცვლად შეუძლია მხოლოდ მარტივ $p$-ს ხარისხებზე იმუშაოს.
ალგორითმული პროცესების ანალიზს.
- რითია ეს ამოცანა რთული?
ფარული მახეები: $\text{უ.ს.გ}(m, n)$ ყველასთვის ნაცნობია, მაგრამ $\frac{\text{უ.ს.ჯ}(m, n)}{\text{უ.ს.გ}(m, n)}$ სპეციფიკურია. არ არის არც ჯამი, არც პირდაპირი ნამრავლი. მოსწავლეს უწევს ამ “უცხო” ოპერაციის შინაარსის გაშიფრვა.
ჩვენ გვაქვს 2026 რიცხვი. კონფუცი ირჩევს ნებისმიერ ორს. ეს ქმნის არჩევანის უზარმაზარ თავისუფლებას. სირთულე იმაშია, რომ უნდა ვიპოვოთ ისეთი მახასიათებელი, რომელიც მთელ 2026 რიცხვზე მუშაობს, მიუხედავად იმისა, თუ რომელ ორ რიცხვს აირჩევს მოთამაშე.
უსასრულო ციკლის შიში: რიცხვები რომ უბრალოდ მცირდებოდეს, სასრულობის დამტკიცება მარტივი იქნებოდა. მაგრამ ზოგიერთი რიცხვი შეიძლება გაიზარდოს კიდეც (მაგალითად, $\text{უ.ს.ჯ}$-ს ხარჯზე). შესაბამისად, სტანდარტული “უდიდესი რიცხვი მცირდება” მიდგომა აქ პირდაპირ არ იმუშავებს.
- რა მეთოდები უნდა ვცადოთ? (როდესაც მსგავს ამოცანას ვხვდებით, ჩვენი აზროვნების პროცესი შემდეგი მეთოდებისკენ უნდა მივმართოთ:მცირე შემთხვევების სიმულაცია: ავიღოთ 2 ან 3 მცირე რიცხვი (მაგ. 4, 6, 10) და ხელით გავაკეთოთ სვლები. დავაკვირდეთ, სად მიდის პროცესი.
პროექცია მარტივ რიცხვებზე: ნებისმიერი $x$ რიცხვისთვის წარმოვიდგინოთ მისი მარტივი მამრავლების ხარისხები (არითმეტიკის ფუნდამენტალური თეორემა): $x = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots$. ვინაიდან $\text{უ.ს.გ}$ და $\text{უ.ს.ჯ}$ დამოუკიდებლად მოქმედებს თითოეულ მარტივ რიცხვზე, ჩვენ შეგვიძლია ამოცანა დავიყვანოთ მხოლოდ ერთი ფიქსირებული მარტივი $p$ რიცხვის ხარისხებზე დაკვირვებით. “ენერგიის ფუნქციის” (Energy Function) შემოღება: უნდა მოვიფიქროთ ფუნქცია, მაგალითად, ყველა რიცხვის ნამრავლი, ან მათი კვადრატების ჯამი, მარტივი ხარისხების რაოდენობა, რომელიც ყოველი სვლის შემდეგ შეიცვლება ერთი მიმართულებით. თუმცა სანამ ამოხსნაზე გადავალთ დავკირდეთ, პროცეს და ვნხაოთ რა ხდება, ამისათვის 1-დან 100-მდე ავირჩიოთ 7 შემთხვევითი რიცხვი და გავაკეთოთო კონფუცის სვლები(საზოგად 3 რიცხვიც საკმარისია, თუმცა რადგან კომპიუტერს არ სჭრიდება დიდი დრო, ამიტომ ავიღე 7)
ალგორითმის სიმულაცია: კონფუცის სვლა
აკონტროლეთ თითოეული მათემატიკური ნაბიჯი მამრავლების დონეზე
⚙️ სისტემის ინიციალიზაცია...
მას შემდეგ, რაც ინტერაქტიული სიმულატორის დახმარებით ინტუიციურად დავინახეთ, თუ როგორ ინაწილებენ და „ჭამენ“ რიცხვები ერთმანეთის მარტივ მამრავლებს, დროა გადავეშვათ სუფთა, აბსტრაქტულ მათემატიკაში.
ჩვენი მიზანია მკაცრად დავამტკიცოთ, რომ კონფუცის სვლების ეს პროცესი უსასრულოდ ვერ გაგრძელდება და დაფაზე საბოლოოდ $1$-ზე მეტი მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა დარჩება.
ეტაპი 1: მარტივი მამრავლების ხარისხების ანალიზი
დავიწყოთ იმის დეტალური ანალიზით, თუ რა ემართებათ რიცხვებს მამრავლების დონეზე. როდესაც დაფაზე ვირჩევთ ორ რიცხვს $m > 1$ და $n > 1$, კონფუცის წესის თანახმად, ისინი ნაცვლდება ორი ახალი რიცხვით: $x = \text{უ.ს.გ}(m, n)$ და $y = \frac{\text{უ.ს.ჯ}(m, n)}{\text{უ.ს.გ}(m, n)}$
განვიხილოთ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი $p$, რომელიც შედის $m$-ის ან $n$-ის (ან ორივეს) მარტივ მამრავლებად დაშლაში. ვთქვათ, $p$-ს ხარისხი $m$-ში არის $\alpha$, ხოლო $n$-ში არის $\beta$. დავაკვირდეთ, როგორ იცვლება ეს ხარისხები კონფუცის სვლების შემდეგ:
- პირველი ახალი რიცხვი ($x$): უდიდესი საერთო გამყოფის თვისების მიხედვით, $p$-ს ხარისხი $\text{უ.ს.გ}(m, n)$-ში იქნება ზუსტად $\min(\alpha, \beta)$.
- მეორე ახალი რიცხვი ($y$): უმცირეს საერთო ჯერადში, $\text{უ.ს.ჯ}(m, n)$, $p$-ს ხარისხი არის $\max(\alpha, \beta)$. ვინაიდან $y$ წარმოადგენს უ.ს.ჯ-ს და უ.ს.გ-ს განაყოფს, $p$-ს ხარისხი მასში გამოითვლება მაჩვენებლების გამოკლებით: $$\max(\alpha, \beta) - \min(\alpha, \beta) = |\alpha - \beta|$$
💡 „აჰა!“ მომენტი #1: ყოველი სვლისას, რიცხვების ნებისმიერი მარტივი მამრავლის ხარისხების საწყისი წყვილი $(\alpha, \beta)$ ჩანაცვლდება ახალი წყვილით: $(\min(\alpha, \beta), |\alpha - \beta|)$. ეს აღმოჩენა ამოცანის მთავარი გასაღებია.
ეტაპი 2: დაფაზე დაწერილი რიცხვების ნამრავლის ანალიზი და მონოვარიანტი
მამრავლების ხარისხებზე დაკვირვებამ მიგვიყვანა ამოცანის მთავარ გასაღებამდე. განვიხილოთ, რა ემართება დაფაზე არსებული ყველა რიცხვის საერთო ნამრავლს ერთი სვლის შემდეგ.
გამოვთვალოთ რიცხვების ნამრავლი კონფუცის სვლის შემდეგ:
$$x \cdot y = \text{უ.ს.გ}(m, n) \cdot \frac{\text{უ.ს.ჯ}(m, n)}{\text{უ.ს.გ}(m, n)} = \text{უ.ს.ჯ}(m, n)$$არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემიდან და ჩვენი ხარისხების ანალიზიდან კარგად არის ცნობილი, რომ ნებისმიერი ორი ნატურალური რიცხვის ნამრავლი უდრის მათი უ.ს.გ-სა და უ.ს.ჯ-ს ნამრავლს:
$$m \cdot n = \text{უ.ს.გ}(m, n) \cdot \text{უ.ს.ჯ}(m, n)$$თუ ამ ორ ფორმულას შევადარებთ, ვნახავთ, რომ კონფუცის სვლის შემდეგ რიცხვების ნამრავლი $x \cdot y$ ზუსტად $\text{უ.ს.გ}(m, n)$-ჯერ ნაკლებია თავდაპირველ რიცხვების ნამრავლზე. დასკვნა: ყოველი სვლის შემდეგ, დაფაზე არსებული ყველა რიცხვის ნამრავლი იყოფა $\text{უ.ს.გ}(m, n)$-ზე!
ეტაპი 3: საბოლოო ტრიუმფი
ახლა პროცესი ორ ძალიან მარტივ და ლოგიკურ სცენარად იყოფა. შემოვიღოთ ორი სიდიდე (მონოვარიანტი):
- $P$ — დაფაზე არსებული რიცხვების საერთო ნამრავლი.
- $K$ — დაფაზე არსებული იმ რიცხვების რაოდენობა, რომლებიც მკაცრად მეტია $1$-ზე.
ყოველ სვლაზე, როცა ვირჩევთ ორ რიცხვს ($m > 1$ და $n > 1$), გვაქვს ორი შესაძლო გზა:
გზა A: რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფი თუ $\text{უ.ს.გ}(m, n) > 1$, მაშინ დაფაზე არსებული რიცხვების საერთო ნამრავლი $P$ იყოფა $1$-ზე მეტ რიცხვზე. შესაბამისად, $P$ მკაცრად მცირდება.
გზა B: რიცხვები ურთიერთმარტივია
💡 „აჰა!“ მომენტი #2: რა ხდება, თუ $\text{უ.ს.გ}(m, n) = 1$? ამ შემთხვევაში, ნამრავლი $P$ იყოფა $1$-ზე, ანუ არ იცვლება. თუმცა, ვნახოთ რა ახალი რიცხვები მივიღეთ დაფაზე: $x = 1$ და $y = m \cdot n$. ჩვენ წავშალეთ ორი რიცხვი ($m$ და $n$) და მივიღეთ მხოლოდ ერთი ახალი აქტიური რიცხვი ($m \cdot n$), რადგან $1$ თამაშიდან გამოეთიშა. შედეგად, აქტიური რიცხვების რაოდენობა $K$ ზუსტად $1$-ით შემცირდა!
შეჯამება: პროცესი უსასრულოდ ვერ გაგრძელდება. $P$ არის ნატურალური რიცხვი და უსასრულოდ ვერ შემცირდება, ვერც $K$ (რაოდენობა) შემცირდება უსასრულოდ. თამაში აუცლებლად უნდა დასრულდეს, რაც ნიშნავს, რომ დაფაზე ვეღარ მოვძებნით ორ რიცხვს, რომლებიც მეტია $1$-ზე. მაშასადამე, დაფაზე $1$-ზე მეტი მხოლოდ ერთი რიცხვი დარჩება!
ეტაპი 4: 💡 „აჰა!“ მომენტი #3 – ევკლიდეს კვალი
ჩვენ უკვე დავამტკიცეთ, რომ თამაში სრულდება და დაფაზე 1-ზე მეტი მხოლოდ ერთი რიცხვი რჩება. მაგრამ კონკრეტულად რომელი რიცხვია ეს?
ამის გასაგებად, კიდევ ერთხელ უნდა დავუბრუნდეთ ჩვენს ანალიზს და მარტივი მამრავლების ხარისხებს. გავიხსენოთ, თუ როგორ იცვლება ნებისმიერი მარტივი $p$ მამრავლის ხარისხები $\alpha$ და $\beta$ ყოველი სვლისას. ისინი გარდაიქმნება ახალი წყვილით:
$$(\min(\alpha, \beta), |\alpha - \beta|)$$მოდით, ამ პროცესს სხვა კუთხით შევხედოთ. დავუშვათ, $\alpha \ge \beta$. მაშინ $\min(\alpha, \beta) = \beta$, ხოლო $|\alpha - \beta| = \alpha - \beta$. შესაბამისად, ახალი ხარისხებია:
$$(\beta, \alpha - \beta)$$გეცნობათ ეს ოპერაცია? ეს არის კლასიკური ევკლიდეს ალგორითმი (Euclidean algorithm) ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის (უ.ს.გ) საპოვნელად!
ეტაპი 5: ხარისხების ინვარიანტი და საბოლოო შედეგი
მარტივი შესამჩნევია, რომ
$$\text{უ.ს.გ}(\alpha, \beta) = \text{უ.ს.გ}(\beta, \alpha - \beta)$$ეს ნიშნავს, რომ ყოველი $p$ მარტივი მამრავლისთვის, დაფაზე არსებული 2026-ივე რიცხვის ხარისხის მაჩვენებლების უ.ს.გ. არის აბსოლუტური ინვარიანტი — ის თამაშის განმავლობაში არ იცვლება!
რა ხდება თამაშის ბოლოს? როგორც ვიცით, დაფაზე რჩება მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა, რომელიც მეტია 1-ზე. დანარჩენი 2025 რიცხვი არის 1. ნებისმიერი $p$ მარტივი მამრავლისთვის ეს იმას ნიშნავს, რომ ამ 2025 რიცხვში p-ს ხარისხის მაჩვენებელი არის 0, ხოლო მხოლოდ ერთში გვაქვს რაღაც ხარისხი, ეს ხარისხი აღვნიშნოთ $E_p$-თი.
გამოვთვალოთ საბოლოო მდგომარეობის ხარისხების უ.ს.გ:
$$\text{უ.ს.გ}(E_p, 0, 0, \ldots, 0) = E_p$$ვინაიდან ხარისხების უ.ს.გ. ინვარიანტია, ეს საბოლოო $E_p$ ზუსტად უნდა უდრიდეს საწყისი 2026 რიცხვის ხარისხების უ.ს.გ-ს!
თუ ჩვენს საწყის რიცხვებს აღვნიშნავთ როგორც $A_1, A_2, \ldots, A_{2026}$, მაშინ თითოეული $p$ მამრავლის საბოლოო ხარისხი იქნება:
$$E_p = \text{უ.ს.გ}(v_p(A_1), v_p(A_2), \ldots, v_p(A_{2026}))$$🎉 დასკვნა: რა რიცხვი რჩება დაფაზე?
საბოლოოდ დარჩენილი ერთადერთი რიცხვი $N$ სრულად დეტერმინირებულია. ის წარმოადგენს ყველა იმ მარტივი მამრავლის ნამრავლს, სადაც თითოეული მათგანი ხარისხად აყვანილია საწყისი 2026 რიცხვის შესაბამისი ხარისხების უდიდეს საერთო გამყოფში:
$$N = \prod_{p} p^{\text{უ.ს.გ}(v_p(A_1), v_p(A_2), \ldots, v_p(A_{2026}))}$$მოცემულია $ABC$ სამკუთხედი, სადაც $M$ და $N$ წარმოადგენს, შესაბამისად, $AB$ და $AC$ გვერდების შუაწერტილებს. ვთქვათ, $K$ და $L$ წერტილები შერჩეულია მკაცრად $BMC$ და $BNC$ სამკუთხედების შიგნით ისე, რომ $K$ მდებარეობს მკაცრად $ABL$ სამკუთხედის შიგნით, ხოლო $L$ მდებარეობს მკაცრად $AKC$ სამკუთხედის შიგნით. დავუშვათ, რომ
$$\angle KBA = \angle ACL, \quad \angle LBK = \angle LNC, \quad \text{და} \quad \angle LCK = \angle BMK.$$ვთქვათ, $O$ არის $AKL$ სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის ცენტრი. დაამტკიცეთ, რომ $OM = ON$.
დაწერეთ ამ სივრცეში 👇
ამოხსნის ნახვა
ვთქვათ, $n$ დადებითი მთელი რიცხვია. ლიუ ბანგს და სიან იუს აქვთ 1-ის ტოლი სიგრძის ჯოხი და სურთ მისი ერთმანეთში გაყოფა. პირველად ლიუ ჯოხზე მონიშნავს არაუმეტეს $n$ წერტილს, რის შემდეგაც სიანი ჯოხზე მონიშნავს არაუმეტეს $n$ წერტილს. მონიშნული წერტილები ურთიერთგანსხვავებულია.
შემდეგ ჯოხი იჭრება ყველა მონიშნულ წერტილში, რის შედეგადაც მიიღება გარკვეული რაოდენობის ნაჭრები. ამის შემდგომ, ისინი რიგრიგობით ირჩევენ ჯოხის ნებისმიერ ჯერ კიდევ აუღებელ ნაჭერს; პირველ სვლას აკეთებს ლიუ. თითოეული მოთამაშის მიზანია საკუთარი ნაჭრების ჯამური სიგრძის მაქსიმიზაცია.
თითოეული $n$-ისთვის, იპოვეთ უდიდესი $c$ მნიშვნელობა ისეთი, რომ ლიუმ გარანტირებულად შეძლოს მინიმუმ $c$ ჯამური სიგრძის მოპოვება, სიანის სვლების მიუხედავად.
დაწერეთ ამ სივრცეში 👇
დღე 2
შან-იუ და მულანი თამაშობენ თამაშს. ვთქვათ, $\theta$ არის კუთხე, სადაც $0^\circ < \theta < 180^\circ$, რომელიც ცნობილია ორივე მოთამაშისთვის. საწყის ეტაპზე, შან-იუ აკეთებს ქაღალდის $\mathcal{T}$ სამკუთხედს თავისი არჩეული ზომებით. შემდეგ, ისინი მრავალჯერადად ასრულებენ შემდეგ ნაბიჯებს:
- თუ $\mathcal{T}$-ს აქვს მინიმუმ ერთი კუთხე, რომლის ზომა ზუსტად $\theta$-ს ტოლია, მაშინ თამაში ჩერდება და მულანი იგებს.
- წინააღმდეგ შემთხვევაში, მულანი ირჩევს $P$ წერტილს $\mathcal{T}$-ს პერიმეტრზე, რომელიც განსხვავდება მისი სამივე წვეროსგან. შემდეგ ის აკეთებს წრფეზე ჭრას $P$ წერტილიდან $\mathcal{T}$-ს მოპირდაპირე წვერომდე, რითაც მას ორ სამკუთხედად ყოფს.
- შან-იუ გადააგდებს ორი სამკუთხედიდან ერთ-ერთს. დარჩენილი სამკუთხედი ხდება ახალი $\mathcal{T}$.
$\theta$-ს რომელი ნამდვილი მნიშვნელობებისთვის შეუძლია მულანს გარანტირებულად მოიპოვოს გამარჯვება სასრული რაოდენობის ნაბიჯებში, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ ითამაშებს შან-იუ?
დაწერეთ ამ სივრცეში 👇
ვთქვათ, $\mathbb{R}_{>0}$ არის დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე. იპოვეთ ყველა ისეთი $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ ფუნქცია, რომლისთვისაც
$$\sqrt{\frac{x^2 + f(y)^2}{2}} \ge \frac{f(x) + y}{2} \ge \sqrt{xf(y)}$$ნებისმიერი $x, y \in \mathbb{R}_{>0}$ მნიშვნელობებისთვის.
დაწერეთ ამ სივრცეში 👇
ვთქვათ, $a_1, a_2, a_3, \dots$ არის 1-ზე მეტი დადებითი მთელი რიცხვების უსასრულო მიმდევრობა. დავუშვათ, რომ ნებისმიერი დადებითი მთელი $n$ რიცხვისთვის, $a_{n+1}$ არის $a_n$-ზე მეტი ისეთი უმცირესი დადებითი მთელი რიცხვი, რომლისთვისაც
$$\text{უ.ს.გ}(a_{n+1}, a_i) > 1$$ნებისმიერი $i = 1, 2, \dots, n$ მნიშვნელობისთვის. დაამტკიცეთ, რომ არსებობს ისეთი დადებითი მთელი $T$ და $L$ რიცხვები, რომ
$$a_{n+T} = a_n + L$$ნებისმიერი დადებითი მთელი $n$ რიცხვისთვის.
(შენიშვნა: $\text{უ.ს.გ}(x, y)$ აღნიშნავს დადებითი მთელი $x$ და $y$ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფს.)
დაწერეთ ამ სივრცეში 👇
